五、构造法

　　构造法是一种重要的数学方法，它灵活多样，数论中的许多问题都可以通过构造某些特殊结构、特殊性质的整数或整数的组合来解决。

　　例5 99⁹⁹和99！能否表示成为99个连续的奇自然数之和？

　　解：99⁹⁹能。因为99⁹⁹等于99个99⁹⁸之和，所以可以直接构造如下：

　　9999=（99⁹⁸-98）+（99⁹⁸-96）+…+

　　=（99⁹⁸-2）+99⁹⁸+（99⁹⁸+2）+…+

　　=（99⁹⁸+96）+（99⁹⁸+98）。

　　99！不能。因为99！为偶数，而99个奇数之和为奇数，所以99！不能表示为99个连续奇数之和。

　　说明：利用构造法证明存在性问题，只要把满足题设要求的数学对象构造出来就行。

　　例6 从1，2，3，…，999这999个数中，要求划去尽量少的数，使得余下的数中每一个数都不等于另外两个数的乘积。应划去哪些数？

　　解：我们可划去2，3，…，30，31这30个数，因为划去了上述这30个数之后，余下的数中，除1以外的任何两个数之积将大于32²=1024＞999。

　　另一方面，可以通过构造三元数组来证明30是最少的个数。

　　（2，61，2×61），（3，60，3×60），（4，59，4×59），…，

　　（30，33，30×33），（31，32，31×32）。

　　上面写出的这些数都是互不相同的，并且这些数中的最大数为 31×32=992。如果划去的数少于30个，那么上述三元数组至少剩下一个，这样就不满足题设条件。所以，30是最少的个数。

六、配对法

　　配对的形式是多样的，有数字的凑整配对，也有集合间元素与元素的配对（可用于计数）。传说高斯8岁时求和（1+2+…+100）首创了配对。像高斯那样，善于使用配对技巧，常常能使一些表面上看来很麻烦，甚至很棘手的问题迎刃而解。

　　例7 求1，2，3，…，9999998，9999999这9999999个数中所有数码的和。

　　解：在这些数前面添一个数0，并不影响所有数码的和。将这1000万个数两两配对，因为0与9999999，1与9999998，…，4999999与5000000各对的数码和都是9×7=63。这里共有5000000对，故所有数码的和是63×5000000=315000000。

　　例8 某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号。若号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”。例如号码 0734，因 0+7=3+4，所以这个号码的购物券是幸运券。试说明，这个商场所发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除。

　　解：显然，号码为9999的是幸运券，除这张幸运券外，如果某个号码n是幸运券，那么号码为m=9999-n的购物券也是幸运券。由于9999是奇数，所以m≠n。

　　由于m+n=9999，相加时不出现进位，所以除去号码是9999这张幸运券之外，其余所有幸运券可全部两两配对，而每一对两个号码之和均为9999，即所有幸运券号码之和是9999的倍数。

　　因为9999=99×101，所以所有幸运券号码之和能被101整除。

　　试说明分子m是质数89的倍数。

　　解法一：仿照高斯求和（1+2+3+…+n）的办法，将和

　　①②两式相加，得

　　从而

　　2m×88！=89×k（k是正整数）。

　　因为89为奇质数，所以89不能整除 88！，从而89|m。

　　解法二：作配对处理

　　将括号内的分数进行通分，其公分母为

　　1×88×2×87×3×86×…×44×45=88！，

　　从而

　　m×88！=89×k（k=n×q）。

　　因为89为奇质数，所以89不能整除88！，从而89|m。